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El análisis no estandartizado se quedaría curioso, si su única aplicación era la argumentación de los razonamientos de los clásicos del análisis matemático. Él se encontraba útil y al desarrollo de las nuevas teorías matemáticas. Se puede comparar el análisis no estandartizado con el puente echado a través del río. La construcción del puente no extiende el territorio, accesible a nosotros, pero reduce la vía de una orilla a otra. De esa manera el análisis no estandartizado hace las pruebas de muchos teoremas en pocas palabras.

Así, si el número infinitesimal, el número es infinitamente grande en el sentido de que ello más de cualquiera de los números: 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 etc. De dicho es posible ver que la existencia infinitesimal contradice el axioma así llamado de Arquímedes, que afirma que para cualesquiera dos trozos Y y En es posible aplazar menor de ellos (tantas veces que en la suma recibir el trozo que supera por la longitud el trozo (.

Los hipernúmeros reales que no son infinitamente grandes, se llaman final. Se puede presentar cada hipernúmero real final en el tipo donde - el número estandartizado, y - infinitesimal. Que - el hipernúmero real final. Romperemos los números reales en dos clases: menor y grande. Porque es final, dos la clase no son vacío. Por “el axioma de la plenitud“ hay un número real que divide estas clases. Es fácil ver que será infinitesimal. El número se llama en la parte estandartizada del hipernúmero real final. Se deja ver esto :. Así, la multitud de hipernúmeros reales finales se estrella a las clases. Estas clases se llaman en las mónadas. En la mónada del número estandartizado se llama la multitud de todos hipernúmeros reales, infinitamente próximos a él.

Sin embargo, puede ser, el significado principal del análisis no estandartizado consiste en otro. La lengua del análisis no estandartizado se encontraba el medio conveniente de la construcción de los modelos matemáticos de los fenómenos físicos. Las ideas y los métodos del análisis no estandartizado pueden hacerse la parte importante del cuadro futuro físico del mundo. En todo caso ya ahora muchos especialistas en la física matemática usan activamente el análisis no estandartizado en el trabajo.

Hablan en este caso que el orden introducido transforma en el campo arreglado. El campo arreglado es sólo cuando, cuando en ello hay unos elementos positivos infinitesimales. El campo arreglado se llama en la ampliación del campo de los números reales R, si contiene todos los números reales y, además, las operaciones y el orden de, examinado en sus elementos R, coinciden con las operaciones regulares aritméticas y el orden regular sobre los números reales.

Una definición más exacta de la poca cosa infinita del número> 0, que usaremos es tal. Pondremos el número consigo, recibiendo los números + y etc. Si todos los números recibidos se encuentran menos 1, el número y se llamará infinitesimal. Con otras palabras, si infinitesimal, cuantas veces no traces el trozo de la longitud a lo largo del trozo de la longitud 1, al fin no llegas. Se puede copiar nuestra exigencia a infinitesimal en tal forma

En este caso la multitud se llama en el campo. Que en el campo de es introducido el orden, e.d. para cualquier pareja no los elementos iguales uno a otro y es determinado, que de ellos es más grande. Se cumplen Además tales propiedades: